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举个栗子:数学证明:奇迹并不罕见?

日报 举个栗子 2年前 (2017-11-16) 239次浏览 0个评论 扫描二维码

举个栗子:数学证明:奇迹并不罕见?

我称之为“不可能性原理”(Improbability Principle)的数学定律会告诉你,不必为各种巧合事件感到惊讶。事实上,我们应该期待巧合的发生。这个原理的一个重要组成部分是“巨数法则”(law of truly large numbers),即在每一次尝试中,不管一个特定事件多么不可能发生,只要尝试的次数足够多,我们终将看到这一事件的发生。尽管如此,当我们在某些情况下确实拥有很多尝试机会时,还是会觉得特定事件发生的概率非常小。这种误解导致我们严重低估了这类事件发生的概率:我们认为某件事几乎不可能发生时,实际上它不仅非常可能发生,甚至可以说几乎肯定会发生。

为什么在大量尝试中罕见事件发生的概率非常大,而人们却往往意识不到这一点?与不可能性原理有关的另一个数学定律——组合定律(law of combinations)揭示了其中的奥秘。根据组合定律,多个因素的组合数量会随着因素数量的增加而呈指数式增长。“生日问题”就是一个著名的例子。

生日问题指的是:在一个房间里,至少有多少人,才能使得其中两个人的生日是同一天的可能性超过 50%?

答案是只需要 23 人。如果一个房间里的人数不小于 23,那么其中两个人的生日是同一天的可能性就超过 50%。

如果你之前从未听说过生日问题,上述答案可能会让你大吃一惊。只需要 23 个人,这个数字听起来也太小了吧?也许你的理由是这样的:任何一个人的生日和你是同一天的可能性,只有 1/365。也就是说,任何一个人的生日和你不是同一天的可能性就是 364/365。如果房间里有 n 个人,那么除你以外的 n – 1 人,每个人的生日和你不是同一天的可能性都是 364/365,也就是说,所有 n – 1 个人的生日和你不是同一天的可能性是 364/365 ×364/365 ×364/365 ×364/365 ×……364/365 ,即 364/365 的 n – 1 次方。当 n 是 23 时,这个结果是 0.94。

由于这个结果指的是其他任何人的生日都和你不是同一天的概率,那么这些人中至少有一个人的生日和你是同一天的概率就是 1 – 0.94(很显然,要么有人生日和你是同一天,要么任何人的生日都和你不是同一天,这两种可能情况的概率相加是 1)。好吧,1 – 0.94 等于 0.06。这个概率很小。

然而,上述计算方法是错误的,原因是:生日问题问的并不是有人生日都和你是同一天的概率,而是同一个房间里,任意两个人生日是同一天的概率。这既包括上面所计算的至少有一个人生日和你相同的概率,也包括其他人中有两个人或更多人的生日相同,却和你的生日不同的概率。

这就要请组合定律出马了。尽管只有 n – 1 个人可能和你是同一天生日,但房间里任意两个人的组合共有 n ×(n – 1)/2 种。当 n 变大时,两两组合的数量随之急剧增加。当 n 为 23 时,这个值为 253,比 n – 1 (这时是 22)的 10 倍还大。也就是说,如果房间里有 23 个人,那么任意两个人形成的组合共有 253 种,而其中包括你的组合却只有 22 种。

现在,让我们来看看房间里的 23 个人生日各不相同的概率到底是多少。对任意两人而言,第二个人和第一个人生日不同的概率是 364/365。那么,这两个人生日不同、且第三个人和这两个人的生日都不同的概率就是 364/365 × 363/365。同样地,这三个人生日各不相同、且第四个人和这三个人的生日都不同的概率是 364/365 × 363/365 × 362/365。以此类推,这 23 个人生日各不相同的概率是 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 …… × 343/365。

计算结果是 0.49。房间里的 23 个人生日各不相同的概率是 0.49,因此其中至少有两个人生日相同的概率是 1 – 0.49,也就是 0.51,这个概率已经大于 50%了。

重复的中奖号码

让我们把目光转向彩票,来看看另一个看似不可能发生,却真实发生过的例子。2009 年 9 月 6 日,保加利亚彩票随机抽取的中奖号码是 4、15、23、24、35、42。这组中奖号码没什么令人惊讶的。虽然中奖号码的组成数字都是像 1、2、3、4、5 这样的小数字,但这也并不罕见。此外,中奖号码中有一对连号,23 和 24,不过这种情况出现的频率远比人们通常估计的高得多(如果让人们从 1 到 49 的号码中随机挑选 6 个号码,他们选择连号的概率比真正随机抽取时出现连号的概率更小)。

4 天后,令人惊讶的事情发生了:9 月 10 日,保加利亚彩票随机抽取的中奖号码依然是 4、15、23、24、35、42,和上周的中奖号码一模一样。当时,这个事件被媒体炒得沸沸扬扬。路透社 9 月 18 日的一篇报道中,引述了一位女发言人的话:“在该彩票 52 年的发行史上,这种情况是第一次出现。当看到这种极为反常的巧合时,我们全都目瞪口呆。不过,这的的确确发生了。”不久后,时任保加利亚体育部长的斯维伦?内科夫(Svilen Neikov)下令对此展开调查。这是不是一个惊天骗局?是不是有人以某种方法复制了上一期的中奖号码?

实际上,这个令人大吃一惊的巧合正是不可能性原理的另一个例子,也是组合定律放大效应下的巨数法则的体现。首先,全世界有许许多多种彩票。其次,它们年复一年、一轮又一轮地开奖。这使得彩票中奖号码重复的可能性大增。再次,组合定律在这里起作用了:每一次彩票开奖的结果,都可能包含之前开出的中奖号码。总的来说,与生日问题的情况类似,如果你的彩票开奖 n 次,那么其中有两次中奖号码重合的组合共有 n ×(n – 1)/2 种。

2009 年出现中奖号码重复的保加利亚彩票是一种 49 选 6 的彩票,所以任何一组 6 个号码出现的概率是 1/13 983 816。这就意味着,任何两组抽奖号码完全雷同的概率是 1/13 983 816。不过,3 次抽奖中有两次号码雷同的概率有多大?或者说 50 次抽奖中有两次号码雷同的概率有多大?

当只有 3 次抽奖时,共有 3 种可能的组合;但当有 50 次抽奖时,就会有 1 225 种可能的组合。组合定律又发挥作用了。如果我们更进一步,在有 1 000 次抽奖时,会有 499 500 种可能的组合。换句话说,当抽奖次数提高到原来的 20 倍,也就是从 50 次增加到 1 000 次时,可能的组合数增加得更快,从 1 225 种增加到 499 500 种,几乎相当于原来的 408 倍。显然,我们正在进入“巨数”的领域。

那么,需要抽多少次奖,才能使得重复抽出同一组 6 个中奖号码的概率超过 50%?这样的话,保加利亚彩票事件就很可能是正常发生的了吧?利用处理生日问题时所用的方法,我们得出的答案是,只需要 4 404 次。

如果每周抽两次奖,一年就有 104 次,也就是说,不到 43 年,就可以达到上述计算结果得出的所需抽奖次数。这就意味着,在 43 年内,彩票机重复抽出一模一样的 6 个中奖号码的概率超过 50%。这样的事件,显然不是一个“极为反常的巧合”。

这还只是考虑了一种彩票。当我们考虑全世界发行的各种彩票时,我们就能明白,如果抽奖号码没有偶尔重复一下,才真的让人感到惊讶。所以,当得知 2010 年 10 月 16 日开奖的以色列米福尔?哈佩斯国营彩票(Israel’s Mifal HaPayis state lottery)中奖号码是 13、14、26、32、33、36——与几周前的 9 月 21 日开出的中奖号码一模一样时,相信你已经不会吃惊了。你也许已经不会对这样的事件感到惊讶,但别人未必这么想。以色列的谈话类广播节目中充斥着人们的抱怨之声,他们大都认为这次彩票抽奖有猫腻。

保加利亚彩票事件有所不同,是在相邻的两次开奖中出现了雷同的号码。但是,考虑到巨数法则,以及全世界有那么多彩票在定期开奖的事实,我们大可不必大惊小怪。同样地,我们也不必为之前曾经发生过的类似事件感到吃惊。比如,2007 年 7 月 9 日和 11 日,美国北卡罗来纳州“现金 5”彩票(North Carolina Cash 5 lottery)也开出了同样的中奖号码。

此外,组合定律还会带来非常令人沮丧的彩票结果,1980 年发生在莫琳?威尔科克斯(Maureen Wilcox)身上的事情就是一个例子。威尔科克斯购买了许多彩票,其中就有马萨诸塞州彩票(Massachusetts State Lottery)和罗德岛彩票(Rhode Island Lottery)的中奖号码。然而,对她而言十分不幸的是,她购买的马萨诸塞州彩票上印着罗德岛彩票的中奖号码,而她购买的罗德岛彩票上印着马萨诸塞州彩票的中奖号码。设想一下,如果有 10 种彩票,每一种你都买了一张,那你就有 10 次中奖机会。而 10 张彩票两两组合共有 45 种,因此,从你购买的 10 张彩票中任意拿出两张,恰好中了 10 种彩票中某两种的机会,比你真正中奖的机会大 4 倍多。显然,这并不是获得巨额财富的办法,因为如果你购买的彩票上印着另一种彩票的中奖号码,显然你是不会中奖的,只会让你怀疑上帝是否在和你开玩笑。

组合定律适用于许多人或物体相互影响的情况。例如,设想一个班里有 30 名学生,他们可以通过不同的方式相互影响。他们可以各自独立,这就是 30 个个体;也可以两两组合,这就有 435 种不同的组合;还可以三人一组,这就有 4 060 种不同的组合;可以一直以此类推下去,直到他们成为一个整体——30 个学生组成一组。

所有这些可能出现的不同组合方式,共有 1 073 741 823 种。这可是超过 10 亿啊,要知道,这还是只有 30 个学生的情况。通常,如果一个集合含有 n 个元素,那么它的非空子集就有 2n – 1 个。当 n = 100 时,结果就是 2100 – 1,约等于 1030 ,这对任何人而言都是一个“巨数”。

不过,如果你认为 1030 还不够大,你可以把目光投向万维网(World Wide Web)。万维网拥有约 25 亿用户,任意用户间都能产生关联,这样就有 3 × 1018种两个用户形成的组合,而任意数量相互影响的用户形成的组合种类则高达 10750 000 000。如果某个事件有如此多的发生机会,就算它单次发生的概率再小,也几乎可以肯定:它在如此多的机会下一定会发生。

下次,当你遇到一个看似奇怪的巧合时,记得回想一下不可能性原理吧。

(撰文:戴维?J?汉德/David J. Hand;翻译:杨扬)


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