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举个栗子:你真会数数吗:1+2+3…= -1/12 ?

日报 举个栗子 2年前 (2017-11-17) 234次浏览 0个评论 扫描二维码

举个栗子:你真会数数吗:1+2+3…= -1/12 ?

数学家们又来挑战你的智商了!问:1+2+3+…=?通过对加法“和”的巧妙定义,居然可以算出 1+2+3+…=-1/12!?这并非数学家在故弄玄虚,而是借用了解析延拓的思想和极限的概念来计算这一无穷级数的结果。在这里我们还将看到怎样才能算是一个好的数学科普视频。

这个月的早些时候,“数字狂”(Numberphile)上发布了一个视频,声称全部正整数的和是-1/12。

我一直是“数字狂”的忠实粉丝,它对数学的诠释让数学变得妙趣横生而且通俗易懂,但是这个视频让我失望了。把数字-1/12 和级数 1+2+3+4(译注:级数,指有限个或无限个数字相加的和)用一种有意义的方式联系起来是完全可以的,但是我认为把它叫做该级数的和却有误导性。再者,那段视频中的推导涉及到了一个我作为一名数学教育工作者经常遇到的情况,即数学家们往往不给出明确原因就随意使用定理或概念,这让学生们摸不清在某个条件下,什么是成立的什么是不成立的。在一个关于这段视频的评论中,物理学家斯盖斯库尔博士(Dr.Skyskull)说:“很多人对数学有一种成见,认为数学是非直觉的、古怪的魔法,只有那些超高智商的人类才可能通晓。而(数字狂)不加解释地放出这么一个疯狂的结论,只会让人们更加坚信这一看法。在我看来,这是对数学的伤害。”

加法是一个二元的运算。你输入两个数字,得到一个数字。但是你可以把它拓展到更多数字。比如你想把三个数字相加,那么你可以先把其中任意两个相加,再把第三个与前两者的和相加。我们可以对任何有限个数字进行类似操作(交换律告诉我们不论相加的顺序如何,得到的和是一样的)。但是当我们试图把无穷个数字相加时,我们就必须明确定义什么是加法。处理无穷项相加最常见的方法是运用“极限”的概念。

简单地说,假设有无穷多个数,随着加进去的数越来越多,它们的和越来越接近数 L,那么我们就说这无穷多个数的和是 L。如果 L 是有界的,则称该级数收敛。收敛级数的一个例子是 1/2+1/4+1/8+1/16…,这是一个收敛到 1 的级数。原因很简单:从 0 开始,加上第一个数 1/2 之后,我们距离 1 有一半;加入第二个数之后,我们距离 1 有所剩距离的一半,以此类推,每加入一个数就向着 1 前进所剩距离的一半。

举个栗子:你真会数数吗:1+2+3…= -1/12 ?

芝诺悖论(Zeno’sparadox )说,我们不可能真正达到 1,但是从极限的角度看,我们可以无限地接近 1。这就是数学家们讨论无穷级数时所用到的“和”的定义,它跟我们直觉上所认为的“和”、“等于”的概念是基本一致的。

但是并非所有级数都是收敛的(我们称不收敛的级数为发散级数)。一些级数,比如 1-1+1-1…,当我们不断添项时,其前 n 项的和会在不同的取值间变动。而另一些,比如 1+2+3+4…可能变得无穷大。显然,当用极限概念定义级数的收敛性时,级数 1+2+3+4…是不收敛的。因为假如我说这个级数的极限是某个有界数 L,那么我可以轻松地算出加到多少项之后该级数的和就会超过 L,从而说明它不收敛于 L。

数字-1/12 可以同级数 1+2+3…有意义地联系起来,但是我倾向于不把-1/12 叫做所有正整数的“和”。解决这个问题的一个方法需要用到复分析中解析延拓(analyticcontinuation)的思想。

假设我们有一个定义在复平面的函数 f(z),该函数的定义域为 U。你可以找到一个方法来构造另一个定义在更广的定义域上的函数 F(z),满足对任意属于 U 的 z,有 f(z)=F(z)。所以新构造的函数 F(z)在每一处 f(z)有定义的地方与 f(z)一致,并且在 f(z)的定义域之外的点上也有定义。则函数 F(z)就叫 f(z)的解析延拓。(注意此处没有“之一”,因为一个复函数有唯一的解析延拓。)

解析延拓是有用的,因为复函数可以看成关于变量 z 的无穷级数,而大多数这种无穷级数只有当 z 取某些值时才收敛(译者注:即该复函数仅在某些点处有定义),如果我们可以让该函数在更广的地方有定义会比较好,而一个函数的解析延拓就可以让原函数在无穷级数的非收敛点处也有定义。当我们用一个函数的解析延拓值来代替定义原函数的无穷级数时,我们就可以说 1+2+3…=-1/12 了。

我要在一个函数某点的解析延拓取值与一个在其他地方定义的无穷级数之间放上一个等号。

现在需要讨论的问题是黎曼ζ函数 (the Riemann zeta function),它以与素数的分布问题有很大联系而著称。当 s 的实部大于 1,黎曼ζ函数ζ(s) 被定义为(我们通常用字母 z 代表复函数中的自变量,但为了沿用黎曼对ζ函数的定义[见黎曼 1859 年的论文],这里我们用 s 来表示自变量)。这个无穷级数在 s=-1 时不收敛,但是你可以看到,当我们令 s=-1 时,黎曼ζ函数就等于级数 1+2+3…,所以黎曼ζ函数是这个函数在整个复平面(除了 s=1 处)上的解析延拓。当 s=-1, 有ζ(s)=-1/12。通过在ζ(-1)与之前在复平面的其他地方定义函数的无穷级数之间放上等号,我们就得出了 1+2+3…=-1/12 的结论。

解析延拓并不是把数字-1/12 和级数 1+2+3…联系起来的唯一途径。要想了解其他既详尽又不涉及复分析的好方法,参见:

http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/。

我觉得数字狂的视频并不好,因为他们本可以讲清楚一个值用无穷级数替代是什么含义,也本可以解释清如何用不同方法实现这一替代,但他们却没有。如果你有一点点背景知识,你可以观看这个视频以及一段更长的同一话题的视频,看看事实到底是怎样的。但是那视频之所以让人们“哇”出来,是效果来源于这样一个事实:一堆正整数相加的和不可能得到一个负数,如果观众们对“和”的概念的理解是他们本来的理解的话。

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如果数字狂可以更加清晰地解释联系数值与无穷级数的其他途径,就不会仅仅让人们觉得数学家总是在偷换概念。在那段视频的末尾,制片人布雷迪·哈伦(Brady Haran)问物理学家托尼·帕蒂利亚(Tony Padilla),如果永远不停地在计算器上累加正整数,按下“=”按钮时,会不会得到-1/12?帕蒂利亚嬉笑着说:“前提是你得不停地加,老兄!” 但是事实上答案应该是否定的。这里,我认为他们本可以向观众澄清他们用了一种不同的方法来给无穷级数计算数值,这样可以大大减少视频的误导性,但是他们错失了机会。

其他人写东西赞了这段视频里的数学。在 Slateblog post 的溢美之词之后,菲儿·普莱特(Phil Plait)写了一篇冷静理智得多的文章来解释级数计算的各种方法。如果你想自己搞明白证明细节,约翰·贝兹(John Baez)已经做好了全部工作。布莱克·史黛丝(Blake Stacey) 和思凯斯库尔( Skyskull) 博士的文章将告诉你用-1/12 来代替全部正整数的和在物理研究中的应用价值。理查德·埃尔维斯(Richard Elwes) 写了一个无穷级数“健康和安全警告”(healthand safety warning),涉及到了我曾经最喜欢的谐波级数(harmonic series)。我认为推广关于这一无穷级数含义的探讨是极好的,尽管我觉得视频中展示的还不够充分,毕竟现在在 YouTube 上有百万多的观众在看啊!

(作者: Evelyn-Lamb,犹他大学博士后;翻译:刘然;审校:李想)


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