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举个栗子:速算到底有多难?

日报 举个栗子 2年前 (2017-11-16) 243次浏览 0个评论 扫描二维码

举个栗子:速算到底有多难?

导语:最近《最强大脑》节目里,一个智力障碍的人展现了自己的速算才能。这事迅速火了起来。对于我们普通人来说,一个看起来十分庞大和复杂的算式到底难不难算,能不能很快报出答案?其实很早之前,我国著名数学家华罗庚在《天才与锻炼》中就介绍过速算的事。来看看吧。

《天才与锻炼》

作者:华罗庚  原文发表于 1982 年 1 月 《环球》

提问者写下一个 201 位的数:

916,748,679,200,391,580,986,609,275,853,801,624,831,066,801,443,086,224,071,265,164,279,346,570,408,670,965,932,792,057,674,808,067,900,227,830,163,549,248,523,803,357,453,169,351,119,035,965,775,473,400,756,816,883,056,208,210,161,291,328,455,648,057,801,588,067,711

解答者马上回答:这数的 23 次方根等于 9 位数 546,372,891。

《环球》杂志的一篇文章中是这样说的:印度有一位 37 岁的妇女沙昆塔拉在计算这道题时速度超过了一台最先进的电子计算机。这台在美国得过奖的最现代化、最尖端的产品 Univac 1180 型电子计算机在算这道题时,要先馈入近 2 万个指令和数字单元,然后才能开始计算。它整整用了一分钟时间才算出结果。而沙昆塔拉在教授在黑板上用了 4 分钟写出这个 201 位数后,仅用 50 秒钟就算出了以上的答案。美国报纸称她为数学魔术师,轰动一时!文章末尾还神秘地说,在她快生孩子的一个星期,她的计算能力出了问题。

面对这样的问题怎么办?

看到上述消息,可能有以下几种态度:一是惊叹,望尘莫及,钦佩之至,钦佩之余也就罢了。二是不屑一顾,我是高等数学专家,岂能为这些区区计算而浪费精力。三是我掌握着快速电子计算机,软件有千千万,她一次胜了我算个啥!老实说,有上述这些思想是会妨碍进步的。第一种态度是没出息,不想和高手较量较量。第二种态度是自命不凡。实际上连计算也怕的人,能在高等数学上成为权威吗?即使能成,也是“下笔虽有千言,胸中实无一策”,瞧不起应用,又对应用一无所能的人。第三种是固步自封,不想做机器的主人。动脑筋是推进科学发展的动力之一,而勤奋、有机会就锻炼是增长我们能耐的好方法。人寿几何!我并不是说碰到所有的问题都想,而是说要经常动脑筋,来考验自己。

在我们见到这问题的时候,首先发现文章中答数的倒数第二位错了,其次我们用普通的计算器(Sharp 506)可以在 20 秒内给出答数。那位教授在黑板上写下那个 201 位数用了 4 分钟,实际上在他写出 8 个数字后,我们就可算出答数了。所以说,沙昆塔拉以 50″对 1′胜了 Univac 1180,而我们用 Sharp 506 小计算器以-3′40″胜了沙昆塔拉的 50″。但我们所靠的不是天才,而是普通人都能学会的方法。让我从头说起吧!

从开立方说起

文章中提到,沙昆塔拉在计算开方时,经常能纠正人们提出的问题,指出题目出错了,可见他们是共同约定开方是开得尽的。现在我们也做这样的约定,即开方的答数都是整数。

我国有一位少年,能在一分钟内开 6 位数的立方。少年能想得出这个方法是值得称道的,但美中不足之处在于他没有把方法讲出来,因而搞得神秘化了。当然也考试了人们,为什么少年能想得出的方法,一些成年人就想不出来,反而推波助澜造成过分的宣扬?

这问题对我是一个偶遇:在飞机上我的一位助手借了邻座一位香港同胞的杂志看,我从旁看到一个数 59,319,希望求这数的立方根。我脱口而出答数是 39。他问为什么,我说,前二位不是说明答数的首位是 3 吗?尾数是 9 不是说明答数的末位应当是 9 吗?因此答数不该是 39 吗?

然后,我告诉他,我的完整想法是:把六位数开立方,从前三位决定答数的第一位,答数的第二位根据原数的末位而定:2、8 互换,3、7 互换,其它照旧(这是因为 1、2、3、4、5、6、7、8、9 立方的末位分别为 1、8、7、4、5、6、3、2、9)。例如 314,432 的立方根是 68,前三位决定 6,末位是 2,它决定答数的末位是 8。

沙昆塔拉可以脱口而出地回答 188,132,517 的立方根是 573。当然 188 决定了首位 5,末位 7 决定了 3,但读者试想一下,中间的 7 怎样算?

归纳起来可以看出有两个方法:一个由头到尾,一个由尾到头。

我们怎样看出答数倒数第二位是错的

这一点比较难些,要运用一个结果:即 a^23 的最后两位数和 a^3 的最后两位数是完全相同的。

91^3 的最后两位数是 71 而不是 11,而 71^3 的最后两位数才是 11,因此答数中的 9 应当改为 7。先不管出现这个差错的原因是什么,我们这里已经做了一个很好的习题。想不到竟是 Univac1180 把题目出错了,这事我们后面再讲它。

附记:我们来证明 a^23 的最后两位数和 a^3 的最后两位数相同。当 a=2 或 5 时,容易直接验算。今假定 a 不能被 2 和 5 除尽,我们只要证明 a^20 的末两位是 01 就够了。首先因 a 是奇数,a^2-1 总能被 8 除尽,所以 a^20-1 当然也能被 8 除尽。其次,因

a^4-1=(a-1)(a+1)[(a-2) (a+2)+5],

a 不是 5 的倍数,所以 a-2,a-1,a+1,a+2 中肯定有一个是 5 的倍数。即 b=a^4-1 是 5 的倍数,而

a^20-1=(b+1)^5-1=b^5+5b^4+10b^3+10b^2+5b。

因而 a^20-1 是 25 的倍数。从而 a^20-1 是 100 的倍数。具备些数论知识的人也可从费尔马定理推出来。

我们怎样算

我们用的原则是:如果解答是 L 位整数,我们只要用前 L 位(有时只要 L-1 位)或后 L 位就够了。先说前一方法。以前面提到的 188,132,517 开立方为例,在计算器上算出 188^(1/3)=5.72865,可以算出答案是 573。

当那位教授说要开 201 位数的 23 方时,以 23 除 201 余 17,就能预测答数是 9 位数。当教授写到第六、七位时,我们就在 Sharp 506 上按这六位和七位数,乘以 10^16,然后按开方钮算出

(9.16748×10^16)^1/23=5.46372873,

(9.167486×10^16)^1/23=5.46372892,

这样我们定出了答数的前七位:5,463,728,后二位已由上节的方法决定了,因此答数应该是 546,372,871。其实,更进一步考虑,只需利用这个 201 位数的前八位数字就能在计算器上得到它的 23 次方根(证明见下面的附记):

(9.1674867×10^16)^(1/23)=5.46372891

但不幸的是,把这个数乘 23 次方,结果与原来给的数不相符。与原题比较,发现原题不但尾巴错了,而且在第八和第九位之间少了一个 6。竟想不 到 Univac 1180 把题目出错了,也许是出题的人故意这样做的。为什么沙昆塔拉这次没能发现这个错误?看来她可能也是根据前八位算出了结果,而没对解答进行验算。

结论是:在教授写到 91,674,867 时,我们在计算器上按上这八个数字。再乘 10^16,然后按钮开 23 方就可算出答案,总共约用 20″就够了,也就是比那个教授写完这个数还要快 3 分 40 秒,比沙昆塔拉快了 4 分半钟。

既然已经知道答数是九位数,或者说在要求答数有九位有效数字时,我们就只需把前八位或九位数字输入计算机就够了,而无需把 201 位数全部输入机器,进行一些多余的计算。

附记 以 a 表示那个 201 位数,b 也表示一个 201 位数,它的前 L 位与 a 相同,后面各位都是零。由中值公式,可知存在一个ξ(b<ξ<a)使

举个栗子:速算到底有多难?

当取 L=8 时,上式小于 1/2,由 b^1/23 的前九位(第十位四舍五入)就可给出 a^1/23。

下面讲一个虚构的故事,在沙昆塔拉计算表演后,有一天教授要给学生们出一道计算题。一位助手取来了题目.是一个 871 位数开 97 方,要求答案有 9 位有效数字。教授开始在黑板上抄这个 数:456,378,192,765,431,892,634,578,932,246,653,811,594,667,891,992,354,467,768,892,…… 当抄到二百多位后,教授的手已经发酸了。“唉!”他叹了一口气,把举着的手放下甩了一下。这时一位学生噗嗤一声笑了起来,对教授说,当您写出八位数字后, 我已把答案算出来了,它是 588,415,036。那位助手也跟着笑了。他说,本来后面这些数字是随便写的,它们并不影响答数。这时教授恍然大悟,“哈哈,我常给你们讲有效数字,现在我却把这个概念忘了”。

多余的话

我不否认沙昆塔拉这样的计算才能。对我来说,不要说运算了,就是记忆一个六、七位数都记不住。但我总觉得多讲科学化比多讲神秘化好些,科学化的东西学得会,神秘化的东西学不会,故意神秘化就更 不好了。有时传播神秘化的东西比传播科学更容易些。在科学落后的地方,一些简单的问题就能迷惑人。在科学进步的地方,一些较复杂的问题也能迷惑人。看看沙昆塔拉能在一个科学发达的国家引起轰动,就知道我们该多么警惕了,该多么珍视在实践中考验过的科学成果了,该多么慎重地对待一些未到实践中去过而夸夸其谈的科学能人了。

同时也可以看到,手中拿了最先进的科学工具,由于疏忽或漫不经心而造成的教训。现代计算工具能计算得很快很准,但也有一个缺点,一旦算错了,不容易检查出来。对于计算象 201 位数字开 23 次方这类的问题——多少属于数学游戏性质的问题,算错了无所谓,而对在实际运用中的问 题算错了就不是玩的。“二万条指令”出错的可能性多了,而在演算过程中想法少用或不用计算机演算,检查起来就不那么难了。这说明人应该是机器的主人,而不是机器的奴隶。至于大算一阵吓唬人的情况就更不值一提了。这里我们还可以看到基本功训练的重要性。如果基本功较差,那么就是使用大型计算机来演算 201 位数开 23 次方也要 1 分多钟才能算完。而有了很好的基本功,就是用小计算器也能花比 1 分钟少的时间算出来。


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